Ejercicios resueltos sobre Intervalos de confianza para la media de una población utilizando Excel.

“Un Intervalo de confianza es un conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. La probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza.” Lind, Douglas. (2008), Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía, México D.F., México, McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A.

Intervalos de confianza para la media de una población

Para establecer un intervalo de confianza para la media de una población determinada utilizaremos una de dos distribuciones: distribución normal estándar o distribución t de Student, cada una de ellas se utilizará en función de los supuestos que se hagan de la población investigada, de la información que de ella se tenga y del tamaño de la muestra elegida.

Un detalle importante es conocer el significado práctico del término Nivel de confianza, por ejemplo, un nivel de confianza de 95% significa que el 95% de las observaciones estarán ubicadas en el centro de la distribución y el 5% restante se ubicarán en partes iguales en “las colas” de la distribución, esto es, 2.5% a cada lado.

Intervalos de Confianza - Colas de la Distribución

Tabla Z Distribución Normal Estándar



En el caso de la distribución t de Student, el principio es el mismo y más adelante veremos un ejemplo de como leerla. 


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Ahora resolvamos algunos ejemplos: 

Intervalo de confianza para la media de una población con Desviación Estándar conocida – Muestras Grandes (n > 30). 


Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa encontró que la distribución de cantidades gastadas por semana tendía a seguir la distribución normal, con una desviación estándar de $5. Una muestra de 49 fumadores reveló que el promedio era de $20.

a. ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? 

Según la muestra tomada $20 es la estimación de la media poblacional. 

b. Con el nivel de confianza de 95%, determine el intervalo de confianza para 𝞵
Intervalo de confianza media desviación estándar conocida

Podemos comprobar nuestra respuesta utilizando la siguiente función en Excel:

INTERVALO.CONFIANZA.NORM(alfa;desv_estándar;tamaño)

Donde:

alfa: es el nivel de confianza, para nuestro ejemplo alfa = 0.05
desv_estándar: es la desviación estándar de la población, en este caso es 5
tamaño: se refiere al tamaño de la muestra n = 49

Reemplazando en la función, tenemos:

INTERVALO.CONFIANZA.NORM(0.05;5;49) = 1.3999


Por tanto, el intervalo de confianza estará dado por:

20 ± 1.3999


Intervalo de confianza para la media de una población con Desviación Estándar desconocida – Muestras Grandes (n > 30).


Cuando desconocemos la desviación estándar de la población (en la vida real es lo más probable) si el tamaño de muestra es lo suficientemente grande (n ≥ 30), el teorema del Límite Central nos permite utilizar la distribución normal como la distribución de muestreo, teniendo en cuenta lo siguiente: 

Intervalos de Confianza Desviación Estándar desconocida Muestras Grandes



Jon Jackobsen, un pasante de posgrado muy dedicado, acaba de terminar una primera versión de su tesis de 700 páginas. Jon mecanografió el trabajo por sí mismo y está interesado en conocer el número promedio de errores tipográficos por página, pero no quiere leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadística para la administración, Jon leyó 40 páginas seleccionadas de manera aleatoria y encontró que el promedio de errores tipográficos por página fue de 4.3 y la desviación estándar de la muestra fue de 1.2 errores por página.

a. Calcule el error estándar estimado de la media.



b. Calcule un intervalo de confianza del 90% para el número promedio verdadero de errores por página en su trabajo.

Calcular Intervalo de confianza

En Excel no existe una función directa para calcular el intervalo de confianza de este escenario particular, pero podemos utilizar la función mostrada en el ejercicio anterior y calculando manualmente el factor de corrección:√(N-n)/(N-1)



Intervalo de confianza para la media de una población con Desv. Estándar desconocida – Muestras Pequeñas (n < 30).

Para este caso particular utilizaremos la distribución t de Student con n -1 grados de libertad:

Distribución t - Student Intervalos de confianza

El propietario de Britten’s Egg Farm desea calcular la cantidad media de huevos que pone cada gallina. Una muestra de 20 gallinas indica que ponen un promedio de 20 huevos al mes, con una desviación estándar de 2 huevos al mes.
a.     ¿Cuál es el valor de la media de la población? ¿Cuál es el mejor estimador?

No se conoce la media poblacional, pero su mejor estimador es huevos al mes.

b.  Explique por qué necesita utilizar la distribución t. ¿Qué suposiciones necesita hacer?
Utilizamos la distribución t porque se desconoce la desviación estándar de la población, pero para aplicarla, debemos suponer que la población sigue una distribución normal.


c. ¿Cuál es el valor t para un intervalo de confianza de 95%?

Tabla T

Con 95% de confianza y n – 1 = 20 – 1 = 19 grados de libertad, entonces, t = 2.093


d. Construya un intervalo de confianza de 95% para la media de la población.



Podemos comprobar nuestra respuesta utilizando la siguiente función en Excel:

INTERVALO.CONFIANZA.T(alfa;desv_estándar;tamaño)

Donde:

alfa: es el nivel de confianza, para nuestro ejemplo alfa = 0.05
desv_estándar: es la desviación estándar de la muestra, en este caso es 2
tamaño: se refiere al tamaño de la muestra n = 20

Reemplazando en la función, tenemos:

INTERVALO.CONFIANZA.NORM(0.05;2;20) = 0.9360


Por tanto, el intervalo de confianza estará dado por:

20 ± 0.9360





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